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2.2 加法

2.2.1

证明命题 2.2.5

命题 2.2.5 (加法是可结合的)对任意三个自然数 a、b、c,有 (a+b)+c=a+(b+c)
成立。

证明:

a,c 为定值,对 b 采取归纳法:
b=0 时:

=(a+0)+c=a+c=a+(0+c)=a+c

原式左右两边相等,等式成立。

假设当 b=b(a+b)+c=a+(b+c) 成立,
则当 b=b++ 时:

左式为:(a+b++)+c,根据引理 2.2.3.n+(m++)=(n+m)++ 有:

(a+b++)+c=((a+b)++)+c

根据引理 2.2.4.n+m=m+n 有:

((a+b)++)+c=c+((a+b)++)=(c+(a+b))++=((a+b)+c)++

右式为:

a+(b+++c)=a+((b+c)++)=(a+(b+c))++

又因为当 b=b(a+b)+c=a+(b+c) 成立,

所以 (c+(a+b))++=(a+(b+c))++,即 左式 = 右式,

因此当 b=b++ 时,原式 (a+b++)+c=a+(b+++c) 成立。

即证:对任意三个自然数 abc,有 (a+b)+c=a+(b+c) 成立。

2.2.2

证明引理 2.2.10

引理 2.2.10a 表示一个正自然数,那么恰存在一个自然数 b 使得 b++=a

证明:

因为 aN+

a=1 时,0++=1b=0,此时 b 为自然数。

设当 a=a 时,b++=a,则当 a=a++时,有:

b++=a++

此时 b=a,因为 aN+,所以 bN+,等式成立。

即证:令 a 表示一个正自然数,那么恰存在一个自然数 b 使得 b++=a

2.2.3

证明命题 2.2.12

命题 2.2.12 (自然数的序的基本性质)令 a、b、c 为任意自然数,那么:

(a)(序是自反的)aa

(b)(序是可传递的)如果 ab 并且 bc,那么 ac

(c)(序是反对称的)如果 ab 并且 ba,那么 a=b

(d)(加法保持序不变)ab,当且仅当 a+cb+c

(e) a<b,当且仅当 a++b

(f) a<b,当且仅当存在正自然数 d 使得 b=a+d

证明:

定义 2.2.11(自然数的序)令 nm 表示任意两个自然数。我们称 n 大于等于 m
记作 nmmn,当且仅当存在自然数 a 使得 n=m+a
我们称 n 严格大于 m,并且记作 n>mm<n,当且仅当 nmnm

(a)

因为 a=a+0,0N,根据定义 2.2.11 就有 aa

(b)

根据定义 2.2.11 有:

aba=b+m,mN

bcb=c+n,nN

所以:

a=c+n+m,n+mN

ac.

因此:如果 ab 并且 bc,那么 ac

(c)

根据定义 2.2.11 有:

aba=b+m,mN

bab=a+n,nN

所以:

a=a+n+m,n+mNn+m=0m=0,n=0a=b

即证:如果 ab 并且 ba,那么 a=b

(d)

由定义 2.2.11 有:

aba=b+m,mNa+c=b+m+c=b+c+m,mNa+cb+c

即证:ab,当且仅当 a+cb+c

(e)

a<b((ab)(ab))((a+m=b,mN)(ab))m0nN,n++=ma+(n++)=b,nN(a++)+n=b,nNa++b

(f)

a<b((a<b)(ab))((a+d=b,dN)(d0))a+d=b,dN+

2.2.4

证明在命题 2.2.13 证明中标注了(为什么?)的三个命题:

  1. a=0 时,对所有的 b 均有 0b
  2. 如果 a>b,那么有 a++>b
  3. 如果 a=b,那么 a++>b

证明:

(0+b=b,bN)(0b,bN)

a>b((a=b+m,mN)(ab))a++=(b+m)++=b+(m++),mNa++>b

a=ba++=b++=(b+0)++=b+(0++)=b+1a++>b

2.2.5

证明命题 2.2.14(提示:定义 Q(n) 是关于 n 的一个如下性质:P(m)对任意满足 m0mn 的 m 均为真;注意,当 n<m0 时,Q(n)为真,因为此时 m 的
取值范围为空。)

命题 2.2.14(强归纳法原理)令 m0 表示一个自然数,P(m) 表示与任意自然数 m 有关的性质。
假设对任意满足 mm0 的自然数 m,均有如下内容成立:若 P(m) 对任意满足
m0m<m 的自然数 m 均为真,那么 P(m) 也为真。(特别地,这意味着
P(m0) 为真,因为当 m=m0 时,前提中的 m 的取值范围为空。)于是我们能够断定,对于
任意满足 mm0 的自然数 m,P(m) 为真。

证明:

Q(n):=P(m)m0m<n,当 n<m0Q(n) 为真。

等价于 nm0,Q(n)

n=m0 时,因为 m0m<m0 不成立,所以 $Q(m_0) 为真。

设当 n=n 时,Q(n) 为真。

则当 n=n++ 时,因为 Q(n) 为真,所以对 m0k<nP(k)
真,因此 P(n) 也为真,从而推出 Q(n++) 也为真,即 Q(n++)=P(k)m0k<n++

2.2.6

令 n 表示一个自然数,令 P(m) 是关于自然数的一个性质并且满足:只要 P(m++) 为真,P(m)
就为真。假设 P(n) 也为真,证明:P(m) 对任意满足 mn 的自然数 m 均为真;
这被成为逆向归纳法原理。(提示:对变量 n 使用归纳法)

证明:

Q(n):=P(m)mn

n=0 时,条件成立.

设当 n=k 时, Q(k):=P(m)mk

则当 n=k++ 时,因为 Q(k) 成立,所以 P(k++),所以 Q(k++) 为真,

因此 Q(k++)=P(m)mk++

2.3 乘法

2.3.1

证明引理 2.3.2(提示:修改引理 2.2.2、引理 2.2.3 以及命题 2.2.4 的证明)

引理 2.3.2(乘法交换律)令 nm 表示任意两个自然数,那么有 n×m=m×n 成立。

证明:

a). 对 m×0=0,mN 成立进行归纳:

m=0 时,0×0=0,等式成立,

m=m 时成立,则有 m×0=0 成立,

m=m++ 时,有 (m++)×0=(m+0)+0=0+0=0 等式依然成立。

b). 对 n×(m++)=(n×m)+n,m,nN 成立进行归纳:

n=0 时,0×(m++)=0=0×m=0,等式成立,

n=n 时成立,则有 n×(m++)=(n×m)+n 成立,

n=n++ 时,有

(n++)×(m++)=n×(m++)+(m++)=n×m+n+(m++)=n×m+m+(n++)=(n++)×m+(n++)

等式 (n++)×(m++)=(n++)×m+(n++) 成立。

c). 对 n×m=m×n,m,nN 成立进行归纳:

n=0 时,0×m=0=m×0,等式成立,

n=n 时成立,则有 n×m=m×n 成立,

n=n++ 时,有:

(n++)×m=n×m+n=m×n+m=m×(n++)

即等式 n×m=m×n,m,nN 成立。

2.3.2

证明引理 2.3.3(提示:首先证明第二个命题)

引理 2.3.3 (正自然数没有零因子)设 nm 为自然数。那么 n×m=0,当且仅当
nm 中至少有一个为零。特别的,如果 nm 均为正,那么 nm 也是正的。

证明:

有题意有:

(nN+)(mN+)c,dN,c++=n,d++=mnm=(c++)×(d++)=c×(d++)+(d++)=(c×(d++)+d)++nmN+

2.3.3

证明命题 2.3.5(提示:修改命题 2.2.5 的证明并利用分配律)

命题 2.3.5(乘法结合律)对任意自然数 abc(a×b)×c=a×(b×c) 均成立.

证明:

b 进行归纳:

b=0 时,(a×0)×c=0×c=0,a×(0×c)=a×0=0,左边 = 右边,等式成立,

设当 b=b 时成立,则有 (a×b)×c=a×(b×c) 成立,

b=b++ 时,有:

(a×(b++))×c=(a×b+a)×c=(a×b)×c+a×ca×((b++)×c)=a×((b×c)+c)=a×(b×c)+a×c=(a×b)×c+a×c(a×(b++))×c=a×((b++)×c)

2.3.4

证明等式 (a+b)2=a2+2ab+b2 对任意自然数 ab 均成立

证明:

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

2.3.5

证明命题 2.3.9(提示:固定 q 并对 n 进行归纳)

命题 2.3.9(欧几里得算法)设 n 是一个自然数,q 表示一个正自然数,那么存在自然数 m
r 使得 0r<q 并且 n=mq+r

证明:

固定 q,对 n 进行归纳:

n=0 时,0=m×q+r,m=0,r=0<q,等式成立,

假设 n=n 时成立,则有 n=mq+r,0r<q 成立,

n=n++ 时,有:

n++=(mq+r)++=mq+(r++)r<q(r++)q((r++)<q)((r++)=q)

r++<q 时,等式成立,

r++=q 时,有:

n++=(mq+r)++=mq+(r++)=mq+q=(m++)q+0

等式依然成立,即证。